پاسخ فعالیت صفحه 4 ریاضی دوازدهم

## پاسخ تشریحی و آموزشی ### بخش الف: مقایسه نمودارها برای مقایسه موقعیت نمودارها، باید ببینیم برای چه مقادیری از $x \ge 0$، نامساوی $g(x) > f(x)$ یا $x^{\pi} > x^e$ برقرار است. ما می‌دانیم که $\pi \approx 3.14159$ و $e \approx 2.71828$. بنابراین، $\pi > e$. 1. **حالت اول: $x = 1$** $$f(1) = 1^e = 1$$ $$g(1) = 1^{\pi} = 1$$ در این نقطه، $f(1) = g(1) = 1$. نمودارها در نقطه $(1, 1)$ همدیگر را قطع می‌کنند. 2. **حالت دوم: $x > 1$** اگر $x > 1$ و $a > b > 0$ باشد، آنگاه $x^a > x^b$. چون $\pi > e$ و $x > 1$، داریم: $$x^{\pi} > x^e \implies g(x) > f(x)$$ در این بازه، نمودار $g(x)$ بالای $f(x)$ قرار دارد. 3. **حالت سوم: $0 < x < 1$** اگر $0 < x < 1$ و $a > b > 0$ باشد، آنگاه $x^a < x^b$. چون $\pi > e$ و $0 < x < 1$، داریم: $$x^{\pi} < x^e \implies g(x) < f(x)$$ در این بازه، نمودار $g(x)$ پایین $f(x)$ قرار دارد. **نتیجه‌گیری الف:** خیر. نمودار $g(x) = x^{\pi}$ تنها برای $x > 1$ بالای نمودار $f(x) = x^e$ قرار دارد. برای $0 \le x < 1$، نمودار $g(x)$ پایین‌تر است و در $x=1$ همدیگر را قطع می‌کنند. --- ### بخش ب: رسم نمودار در بازه $[0, 1]$ همانطور که در بخش الف نتیجه گرفتیم، برای $0 < x < 1$، چون $\pi > e$ است، داریم $x^{\pi} < x^e$. یعنی، **نمودار $g(x) = x^{\pi}$ پایین‌تر از نمودار $f(x) = x^e$ قرار می‌گیرد.** 1. **نقاط کلیدی:** هر دو تابع از $(0, 0)$ می‌گذرند و در $(1, 1)$ یکدیگر را قطع می‌کنند. 2. **ترسیم:** در بازه $[0, 1]$: * نمودار $f(x) = x^e$ (صورتی) منحنی بالایی است. * نمودار $g(x) = x^{\pi}$ (آبی) منحنی پایینی است. این نتیجه‌گیری با تصویر بزرگنمایی شده سمت چپ (که محدوده $[0, 1]$ را پوشش می‌دهد) مطابقت دارد.